Теоремы о сингулярности внутри черных дыр

При анализе сферического коллапса было отмечено, что по крайней мере в рамках общей теории относительности он неизбежно приводит к возникновению сингулярности. В процессе коллапса растут инварианты, характеризующие кривизну пространства-времени, и через конечное время по часам на коллапсирующем теле в его центре кривизна неограниченно вырастает. Это происходит, когда граница Т_ -области пересекает линию г- 0. Дальнейшее продолжение мировых линий частиц и лучей света, «достигших» образовавшейся сингулярности, оказывается невозможным, и поэтому неполнота пространства, связанная с обрыванием световых лучей и мировых линий на сингулярности при конечном значении аффинного параметоа, является принципиально неустранимой. При описании коллапса шара из пылевидного вещества в рамках обычной ньютоновской теории гравитации также возможна ситуация, когда плотность вещества и приливные силы неограниченно растут. Существенно, однако, что учет сил давления или малых отклонений от сферической симметрии принципиально изменяет ситуацию так, что максимальные значения плотности вещества и приливных сил (которые в ньютоновской теории аналогичны кривизне пространства-времени) становятся ограниченными. Таким образом, сингулярность в ньютоновской теории вырождена, неустойчива в том смысле, что возникает лишь в крайне специальной ситуации. Достаточно малых возмущений, и сингулярность исчезает. О том, что ситуация в общей теории относительности существенно иная и развитие сингулярности внутри черных дыр неизбежно происходит при достаточно общих условиях, свидетельствует ряд строгих теорем. Если предположить, что выполняется слабое энергетическое условие и возникла ловушечная поверхность (это означает, что имеется черная дыра), то площади поверхности фронта выходящего и входящего излучения уменьшаются. С другой стороны, поскольку скорость движения вещества не превосходит скорости света, между этими уменьшающимися поверхностями все время будет находиться то вещество, которое когда-либо попадало в зту область. Оно будет сжиматься, а его плотность возрастать. При этих условиях естественно ожидать возникновения сингулярности или какой-либо иной «неприятности». О каких «неприятностях» может идти речь? Дело в том, что до сих пор под сингулярностью мы понимали бесконечную кривизну пространства-времени. Подобную бесконечность заведомо следует называть физической сингулярностью, ибо если какая-либо мировая линия частицы упирается в эту бесконечность, то, далее, линия принципиально не может быть продолжена. Существование частицы здесь обрывается. Однако этим особенности пространства-времени, которые следует называть сингулярностью, не исчерпываются, что связано с возможностью сложной топологии пространства-времени и индефинитностью его метрики. Рассмотрим, например, такую ситуацию. Пусть в некотором месте пространства-времени имеется бесконечная кривизна — сингулярность. Вырежем из пространства- времени эту сингулярность вместе с некоторой окрестностью. В оставшемся многообразии нет бесконечной кривизны. Следует ли оставшееся многообразие считать не имеющим сингулярности? Такое заключение было бы, конечно, неверным. Дело в том, что мировые линии, которые ранее упирались в бесконечную кривизну, теперь обрываются на границе вырезанной области. Это тоже физическая особенность, которую следует назвать сингулярностью. Принято называть сингулярностью не только бесконечную кривизну, но и любую конечную точку на мировой линии частицы (или фотона) или на времениподобной. геодезической, если за зту точку нельзя в принципе продолжить эту линию. При этом конечная точка —сингулярность — должна лежать на конечном расстоянии или при конечном значении аффинного параметра для нулевой геодезической. Таким образом, в более общем случае сингулярность определяется как неполнота мировых линий в пространстве-времени

После данных разъяснений вернемся к обсуждению проблемы о неизбежности возникновения сингулярности внутри ловушечных поверхностей. Соответствующая теорема, доказанная Пенроузом, гласит: Пусть выполнено слабое энергетическое условие и в пространстве-времени, допускающем некомпактную поверхность Коши 2, имеется вушечная поверхность 5. Тогда такое пространство-время не может быть полным относительно световых геодезических. Иными словами, в таком пространстве найдется по крайней мере один световой луч, который нельзя продолжить и который обрывается при конечном значении аффинного параметра. А значит, имеется сингулярность согласно данному выше определению. Идея доказательства теоремы состоит в следующем. Рассматривается множество J (S) точек, которые соединимы с 5 причинной кривой, направленной в прошлое. Локальный анализ показывает, что. там, где граница Э/*E) этого множества несингулярна, она светоподобна и образована отрезками световых геодезических, ортогонально пересекающих в своих начальных точках. Если световые образующие dJ+(S) имеют конечные точки, то эти точки совпадают с особенностями Э/+E) (каустиками или пересечениями). Далее, используя слабое энергетическое условие и сходимость образующих dJ+(S) на поверхности S, можно доказать, что каждый из световых лучей, испущенных ортогонально S, обязательно выходит на,каустику, причем это происходит при значении аффинного параметра, не превосходящем р$ , где ps — максимальное значение р на 5 для обоих семейств выходящих лучей. (Существование ps гарантируется гладкостью и компактностью поверхности S.) Отсюда следует, что граница (S) компактна, поскольку она образована компактной системой конечных замкнутых отрезков. Можно доказать, что *(S) является трехмерным многообразием без края. Заметим, что при доказательстве компактности Э/+E) существенно использовалось предположение, что пространство-время является полным относительно световых геодезических, так что не происходит обрыва образующих Э/+E) до выхода на каустику или точку пересечения. Следующий этап доказательства состоит в установлении противоречия компактности dJ+(S) и некомпактности поверхности Коши 2,, после чего становится очевидным, что сделанное предположение о полноте пространства-времени несовместно с остальными условиями теоремы. Искомое противоречие устанавливается следующим образом. Можно показать, что в пространстве-времени с поверхностью Коши существует конгруэнция времениподобных кривых. Поскольку через каждую точку пространства проходит одна и только одна кривая конгруэнции и времени- подобная кривая не может пересечь световую поверхность Э/+E) более одного раза, то с помощью этой конгруэнции можно установить взаимно однозначное непрерывное соответствие между Э/+E) и некоторым замкнутым подмножеством 2′ поверхности 2. 2′ не может совпасть с 2, поскольку, по предположению, 2 некомпактна. Следовательно, 2′ имеет границу в 2, но это противоречит тому, что (S) — многообразие без края. Полученное противоречие завершает доказательство теоремы Пенроуза о сингулярности.

Следует подчеркнуть, что условие некомпактности поверхности Коши 2 использовалось лишь при доказательстве того, что 2′ не совпадает с 2. Вместо этого можно было бы потребовать, что хотя бы одна времениподоб-

ная линия из конгруэнции не пересекала бы Э/+E). Мы приведем здесь формулировку еще одной теоремы о сингулярностях (которая в определенном смысле является самой сильной из набора теорем такого рода), отсылая читателя, интересующегося точными формулировками, к работам Пенроуза

Источник Новиков И.Д., Фролов В.П. Физика черных дыр.